隶属函数公式与参数契约¶

状态：任务 #50 的契约参考
相关 ADR：ADR-0003
相关可执行接口：fuzzyroutines.FuzzyRoutines.MFunction

目的¶

本表记录历史工厂标识符当前公开的数学内容，区分受保护的历史标识符与标准数学名称，不会静默重定义已有参数约定。

隶属函数将输入映射到 [0, 1] 内的隶属度，遵循 Zadeh (1965) 提出的模糊集表述。任务 #51 在构造及公共参数设置器中强制执行以下准确参数集合、有限实数值和几何约束。

契约表¶

历史标识符	规范数学描述	历史公式与参数含义	非退化域	别名策略
`hyperbolic`	有理幂形式的递减右肩部；不是标准双曲线名称	当 `x <= c` 时为 `1`；否则为 `1 / (1 + (a * (x - c)) ** b)`。`c` 为左侧截止点，`a` 为尺度，`b` 为指数。	`x, a, b, c` 有限；`a > 0`、`b > 0`。	保留 `hyperbolic`；不添加错误的标准名称别名。
`bell`	平顶分段二次钟形；不是 Jang (1993) 的广义钟形	从 `a` 到 `b` 为递增二次肩部，`b` 到 `c` 为平台，随后为镜像递减肩部，终止于 `c + b - a`。	`a, b, c` 有限；`a < b <= c`。	保留 `bell`；不设 `generalizedBell` 别名。
`parabolic`	二次 S 形递增肩部	令 `t = (x - a) / (b - a)`。当 `x <= a` 时为 `0`；`0 < t <= 1/2` 时为 `2t2`；`1/2 < t < 1` 时为 `1 - 2(1 - t)2`；`x >= b` 时为 `1`。	`a, b` 有限；`a < b`。	`sShoulder` 是相同实现与参数的完全等价附加别名。
`triangle`	使用历史参数顺序的三角形隶属函数	`a` 为左底点，`c` 为顶点，`b` 为右底点。几何顺序为 `a < c <= b`，不同于历史参数顺序。	`a, b, c` 有限；`a < c <= b`。边界 `c = b` 保留历史默认高值术语。	保留 `triangle(a, b, c)`；采用常规顺序的别名必须有不同的显式名称。
`trapezium`	使用历史参数顺序的梯形隶属函数	`a` 为左底点，`c` 为平台起点，`d` 为平台终点，`b` 为右底点。几何顺序为 `a < c <= d < b`。	`a, b, c, d` 有限；`a < c <= d < b`。	保留 `trapezium(a, b, c, d)`；采用常规顺序的别名必须有不同的显式名称。
`exponential`	高斯隶属函数	`exp(-0.5 * ((x - a) / b)**2)`。`a` 为中心，`b` 为尺度。	`x, a, b` 有限；规范尺度 `b > 0`。对于非零 `b`，历史公式不受其符号影响。	`gaussian` 是相同实现与参数的完全等价附加别名。
`sigmoidal`	Logistic S 形函数	`1 / (1 + exp(-a * (x - b)))`。`a` 为斜率参数，`b` 为中点。正 `a` 递增，负 `a` 递减。	`x, a, b` 有限；`a != 0`。	`logistic` 是相同实现与参数的完全等价附加别名。
`desirability`	Harrington 单侧期望度 / Gumbel 累积分布函数变换	`exp(-exp(-y))`。直接接受输入 `y`，不保存参数。	`y` 有限。	`harringtonDesirability` 是相同实现的完全等价附加别名。

文献中的命名¶

标准参数化广义钟形函数具有宽度、斜率和中心三个参数，与历史平顶二次 bell 实现不是同一公式。 Jang 的原始 ANFIS 论文定义三参数广义钟形，并明确中心、半宽和斜率的作用： Jang (1993)。历史 exponential 公式恰好为高斯形，而历史 parabolic 是递增二次肩部，并非高斯函数。

过渡兼容注册表名称¶

目前通过历史 MFunction 工厂提供的面向现代用法的名称是附加注册表键，而非不同公式：

注册表名称	历史标识符	过渡参数契约
`sShoulder`	`parabolic`	相同的 `a, b`
`gaussian`	`exponential`	相同的 `a, b`
`logistic`	`sigmoidal`	相同的 `a, b`
`harringtonDesirability`	`desirability`	无参数

每个别名都解析为对应历史标识符的同一绑定方法，因此验证与求值共享同一实现。这不使历史方法成为规范方法。专门的现代模块负责公式实现及常规参数契约；历史工厂标识符是别名或显式兼容适配器。

不为 bell、triangle 或 trapezium 添加别名：若没有独立的现代 API 契约，其历史形状或参数顺序会使常规名称产生歧义。

期望度变换归于 E. C. Harrington，The Desirability Function， Industrial Quality Control 21(10)，494–498 (1965)。这一来源由同行评审期刊 Metrika 的 Trautmann and Weihs (2006) 记录。

兼容规则¶

历史工厂标识符、关键字名称和参数顺序仍属于公共兼容接口。无效配置在构造隶属函数或重新赋值整个参数映射时被拒绝，不会被转换成看似合理的零隶属度。