跳转至

模糊集高度与归一化

  • 状态：任务 #76 的可执行契约
  • 相关 Feature：#25
  • 相关 ADR：ADR-0002
  • 公共模块：fuzzyroutines.fuzzysets

数学契约

对于标量模糊集 A = (X, mu_A)，高度和正规性定义为

height(A)   = sup({mu_A(x) | x in X})
isNormal(A) = height(A) = 1

当 height(A) > 0 时，归一化在同一论域上构造新集合：

mu_Normalize(A)(x) = mu_A(x) / height(A)

结果的精确高度为一，因为上确界乘以了正常数 1 / height(A)。 高度为零时，此商没有定义；Normalize 抛出 ValueError， 不会原样返回空集或人为创造单位隶属度。

精确性边界

Height 遵循现有属性契约，不另行实现一套隶属函数族公式：

  • DiscreteUniverse 有限，对每个声明坐标穷举求值；
  • 当集合使用现代解析 MembershipFunction 或受支持的历史 MFunction 求值器时， 支持 ContinuousUniverse；高度来自 DeriveProperties 及其精确函数族几何；
  • 归一化结果保留内部的精确高度为一的依据；
  • 任意连续可调用对象会被拒绝，因为有限次求值无法证明其全局上确界。

SampleProperties(...).heightEstimate 仍是一个有限 IntegrationDomain 上的近似观测。 它有意不被接受为精确归一化的依据。增加采样点数可以改进估计， 但无法证明一般连续函数的上确界，在无界论域上尤其如此。

数值精度

Height 以标量数值表示返回契约规定的精确值。 IsNormal(fuzzySet, tolerance=1e-12) 使用零相对容差和调用者可见的绝对容差将此值与一比较。 布尔、负数及非有限容差会被拒绝。容差仅影响正规性谓词， 绝不会将很小的正高度当作零，也不会改变归一化的除数。

隶属函数求值器仍验证每个返回值是否位于 [0, 1]。 归一化不会截断浮点计算造成的越界。一般自定义连续函数会被拒绝； 受支持的解析及离散定义会保存快照，而不保留可变源对象的语义。

不可变性与求值范围

Normalize 始终返回独立的冻结 ScalarFuzzySet，绝不修改源对象。 对于离散论域，源隶属度按照论域顺序各求值一次，归一化结果使用此完整不可变快照。 对于连续解析来源，在归一化时捕获规范函数族标识符和不可变参数元组。 惰性求值使用共享解析公式核心与冻结快照，再按精确推导的高度缩放。 因此，之后修改源 MFunction.parameters 不会破坏归一化结果高度为一的依据。

正规性使用上确界，不要求存在核中的点。 因此，即使没有有限坐标达到隶属度一，连续模糊集仍可能是正规的。

示例

from fuzzyroutines import (
    ContinuousUniverse,
    Height,
    IsNormal,
    Normalize,
    ScalarFuzzySet,
)
from fuzzyroutines.FuzzyRoutines import MFunction

membershipFunction = MFunction("logistic", a=2.0, b=0.0)
universe = ContinuousUniverse(-1.0, 1.0, leftClosed=True, rightClosed=True)
fuzzySet = ScalarFuzzySet(universe, membershipFunction.mju)

assert Height(fuzzySet) < 1.0
normalizedSet = Normalize(fuzzySet)
assert IsNormal(normalizedSet)
assert normalizedSet.universe == fuzzySet.universe

参考文献