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模糊集凸性

  • 状态：任务 #77 的设计契约
  • 决策：ADR-0009
  • 范围：一维标量模糊集
  • 公共 API：尚未实现

凸性的含义

对于实区间 X 上的模糊集 A，FuzzyRoutines 使用 Zadeh 的凸性条件：

mu_A(lambda*x + (1 - lambda)*y) >= min(mu_A(x), mu_A(y))

对 X 中任意 x, y 和 [0, 1] 中任意 lambda 均成立。

mu_A 不必是凸函数。此条件表示 mu_A 是拟凹的： 沿区间可以先上升、可能保持平坦、再下降，但两个较高隶属度之间不能存在谷底。 因此，单调隶属函数也具有模糊凸性。

模糊凸性不意味着正规性。次正规的单峰隶属函数、单调肩部以及空模糊集都可以是凸的。

α 截集等价性

弱 α 截集为

A_alpha = {x in X | mu_A(x) >= alpha}, 0 < alpha <= 1.

在连续标量论域上，以下陈述等价：

  1. A 对每一对点和每一个凸组合满足隶属度不等式。
  2. 每个正水平的弱 α 截集都是 X 的凸清晰子集。

简短证明规定了实现契约。若两个坐标属于 A_alpha，则两个隶属度都至少为 alpha； 隶属度不等式使它们之间的每个坐标也属于同一截集。 反之，令 alpha = min(mu_A(x), mu_A(y))。 当 alpha 为正时使用截集凸性；alpha = 0 已由隶属度值域保证。

此等价关系使用全部正水平，而非方便选取的有限水平集合。 对于有限离散论域，检查其不同的正隶属度就足够，因为截集只在这些水平变化。 对于任意连续可调用对象，检查有限个水平不是证明。

连续表示

ContinuousUniverse 始终是实区间，因此定义不等式中的仿射坐标仍位于论域内。 仅声明区间内的坐标参与。排除的端点、无穷或论域外的点不会因推论而被求值。

已接受的解析 MFunction 函数族可通过公式精确认证：

函数族 证明拟凹性的形状
Hyperbolic 先恒定，后递减
Bell 先递增，再恒定，后递减
Parabolic 递增肩部
Triangle 先递增，后递减
Trapezium 先递增，再恒定，后递减
Exponential 围绕中心先递增，后递减
Sigmoidal 单调
Desirability 单调

参数验证属于每项证明义务。注册表别名不产生新的数学内容，而是使用规范函数族的认证。 将已认证函数族限制于有界、开、闭或半有界区间仍保持凸性。

任意 Python 隶属函数可调用对象则不同。对于任何仅进行有限次求值的算法， 都可以构造第二个可调用对象：它在这些坐标返回相同隶属度，却在别处有狭窄的较低谷底。 因此，有限求值可以找到反例，但不能认证全局凸性。 此类表示需要解析证书、符号结构或已证明的构造规则，才能得到精确肯定结果。

离散表示

设离散论域声明为

x_0 < x_1 < ... < x_(n-1).

其精确相对序条件为

mu_A(x_j) >= min(mu_A(x_i), mu_A(x_k)) for every i <= j <= k.

因此，每个弱 α 截集必须是声明坐标中的一个连续块，或为空集。 这称为序凸性。它有意不声称有限坐标集合包含线段上的每个实数点。

例如，X = {0, 2, 10} 时：

  • 包含 {0, 2} 的截集是序凸的；
  • 包含 {0, 10} 但不含 2 的截集不是序凸的；
  • 除非显式插值策略构造了新的连续模糊集，否则空隙 (0, 2) 和 (2, 10) 没有隶属度语义。

由于全部声明坐标都被求值，检查是精确的。 生产实现可以采用等价的单峰序列规则：隶属度在最大值区域之前非递减，之后非递增。 测试应保留直接三点不等式作为独立判定依据。

连续采样依据

对连续隶属函数采样会产生具有声明域和分辨率的记录， 不会改变论域或表示方式。

报告可以表述为：

COUNTEREXAMPLE
    sampled coordinates exhibit a strict valley

NO_SAMPLED_VIOLATION
    no tested coordinate triple exhibits a strict valley

不得将第二种结果转换为 convex、approximately convex、置信度百分比 或全局 α 截集结论。没有额外的正则性界限时，更密的网格只是增加观测， 并不能完成全称证明义务。

若采样隶属度是权威运行时值，严格谷底就是针对该求值对象的反例。 若这些值是某个独立理想公式的浮点近似，则公式层面的结论受声明数值误差策略限制。 精确凸性不包含隐式 epsilon。

截集与端点约定

  • α 截集为弱截集：隶属度等于阈值时包含该坐标。
  • 正水平为 0 < alpha <= 1；水平 1 的截集为核。
  • 弱零截集为整个论域，对凸性判断是冗余的。
  • 空截集和单点截集都是凸的。
  • 当论域排除端点或隶属函数不连续时，截集端点可以是开的。 凸性不意味着闭性或上半连续性。
  • 支集使用独立的严格条件 mu_A(x) > 0。
  • 积分域是操作使用的数值区间，绝不限制全局凸性断言。

未来可执行测试矩阵

表示 精确肯定结果 否定结果 必需保护
解析 已审计的函数族认证 显式解析反例 未知函数族仍为未知
离散 穷举声明坐标求值 违反条件的声明三点组 不声称插值性质
采样 绝不仅由样本得到 违反条件的采样三点组 通过仅表示 NO_SAMPLED_VIOLATION
可调用对象 仅通过独立证书或封闭性规则 显式求值反例 有限查询绝不返回 PROVEN_CONVEX

未来实现测试套件应：

  1. 覆盖每个规范解析函数族及别名的参数边界；
  2. 从少量精确隶属度取值中枚举所有短序列，将优化后的离散算法与穷举三点组的结果比较；
  3. 将离散结果与每个不同正隶属度水平的截集比较；
  4. 验证反例坐标和隶属度的确定性；
  5. 检查开、闭、有界和无界连续论域；
  6. 包含一个粗网格和加密网格都无法发现的狭窄网格间谷底；
  7. 验证采样来源信息在序列化及显示后仍保留；
  8. 拒绝将 NO_SAMPLED_VIOLATION 转换为已证明的布尔结论。

非目标

本契约不定义多维论域、插值、严格模糊凸性、凸性程度、近似或容差凸性， 也不定义所有 t 范数和 s 范数的封闭性规律。 每项都会改变数学定义或验证依据的要求，因此需要单独设计。

参考文献