规范数学模型¶
本文是 FuzzyRoutines 数学契约的入口，定义通用术语，记录当前公共接口提供的公式， 并将各主题关联到详细契约和可执行验证依据。 数值算法、兼容例外和证明边界仍以各详细页面为准。
此模型是一维标量模型。多维模糊集、二型模糊集、符号代数和隐式插值不属于当前契约。
契约与验证依据的层级¶
当来源之间看似矛盾时，按以下顺序解释：
- 已接受的架构决策规定预期契约；
- 本文陈述整合后的数学模型；
- 专门的数学页面规定各主题的细节和验证依据的边界；
- 公共文档字符串描述可调用对象的行为；
- 可执行测试验证当前实现的行为。
当前实现状态 区分已接受的设计和实际提供的行为。 历史兼容契约 保护现有名称与签名， 但不会使历史术语成为数学上的规范术语。
标量模糊集与域¶
标量模糊集是有序对
其中 \(X\) 是显式声明的 ContinuousUniverse 或 DiscreteUniverse。
坐标与隶属度均为有限实数标量。布尔值、非有限值及超出范围的隶属度会被拒绝，不会被强制转换。
必须区分以下概念：
| 概念 | 定义 | 当前表示 |
|---|---|---|
| 论域 | \(\mu_A\) 定义 \(A\) 的坐标集合 | ContinuousUniverse 或 DiscreteUniverse |
| 积分域 | 一次数值操作使用的有限闭区间 | IntegrationDomain |
| 模糊集的支集 | \(\{x\in X\mid\mu_A(x)\gt 0\}\) | 精确区域或显式采样记录 |
| 支集闭包 | 支集相对于 \(X\) 的闭包 | 受支持表示的精确区域 |
| 模糊集的核 | \(\{x\in X\mid\mu_A(x)=1\}\) | 受支持表示的精确区域 |
| 边界 | \(\{x\in X\mid0\lt \mu_A(x)\lt 1\}\) | 模糊过渡区域，并非拓扑边界 |
| 高度 | \(\sup\{\mu_A(x)\mid x\in X\}\) | 仅在表示能够提供证明时才是精确标量 |
绝不将积分域推断为支集。特别是，历史 FuzzySet.supportSet 元组只是有限积分区间的兼容名称。
精确属性和采样属性的语义由论域与支集契约
及 ADR-0002 规定。
隶属函数族¶
MFunction 是历史解析函数族注册表。令 \(S_{a,b}\) 表示二次递增肩部函数
triangle 和 trapezium 函数族使用受保护的历史参数顺序，尽管其几何断点顺序不同：
以及
每个保存的隶属函数参数均为有限的内置 int 或 float；
尽管 Python 将布尔值视为整数，这里仍拒绝布尔值。
以下函数族专有约束是在此通用标量契约之上的附加要求。
desirability 不保存参数，但其求值坐标仍必须是有限内置标量。
已实现的函数族如下：
| 历史标识符 | 数学函数 | 有效参数 | 完全等价的别名 |
|---|---|---|---|
hyperbolic |
当 \(x\le c\) 时为 \(1\)；否则为 \(1/(1+(a(x-c))^b)\) | \(a\gt 0\)、\(b\gt 0\)，且 \(c\) 有限 | 无 |
bell |
当 \(x\lt b\) 时为 \(S_{a,b}(x)\)；在 \([b,c]\) 上为 \(1\)；超过 \(c\) 后为 \(1-S_{c,c+b-a}(x)\) | \(a\lt b\le c\) | 无 |
parabolic |
\(S_{a,b}(x)\) | \(a\lt b\) | sShoulder |
triangle |
\(\mathrm{Tri}_{a,c,b}(x)\) | \(a\lt c\le b\)；历史顺序为 a, b, c |
无 |
trapezium |
\(\mathrm{Trap}_{a,c,d,b}(x)\) | \(a\lt c\le d\lt b\)；历史顺序为 a, b, c, d |
无 |
exponential |
\(\exp\!\left[-\tfrac12((x-a)/b)^2\right]\) | \(a\) 有限，\(b\gt 0\) | gaussian |
sigmoidal |
\(1/(1+\exp[-a(x-b)])\) | \(a\ne0\)，且 \(b\) 有限 | logistic |
desirability |
\(\exp[-\exp(-y)]\) | \(y\) 有限；无保存的参数 | harringtonDesirability |
triangle 和 trapezium 的精确分段方程、数值分支及历史参数顺序
由隶属函数契约 固定。
历史 bell 是平顶分段二次函数族，不是其他库中常见的广义钟形函数。
注册表别名共用同一实现；它们不是新函数族，也不意味着可以重命名受保护的参数。
否定¶
每个否定都将 \([0,1]\) 映射到 \([0,1]\)。
现代集合 API 要求显式 NegationPolicy，没有进程级默认值。
标准补运算为
历史参数化强否定的不动点为 \(\alpha\in(0,1)\)：
抛物型函数族是以下方程的有效分支
令 \(D=1-8(2\alpha-1)(x-\alpha)\)，抗消减误差的分支为
在允许域内，它满足 \(N(0)=1\)、\(N(1)=0\)、\(N(\alpha)=\alpha\)、单调递减和对合性。
FuzzyNOTParabolic 保留的 epsilon 参数仅用于兼容，不控制解析算法。
参见推导
及 ADR-0004。
T 范数与 s 范数¶
对于 \(x,y\in[0,1]\)，公共标量算子和现代策略值提供四个对偶函数族。 第一列的代码值是受保护的历史注册表标识符，不是标准数学函数族名称：
| 历史标识符 | t 范数标准名称 | T 范数 \(T(x,y)\) | s 范数标准名称 | S 范数 \(S(x,y)\) |
|---|---|---|---|---|
logic |
最小值 | \(\min(x,y)\) | 最大值 | \(\max(x,y)\) |
algebraic |
乘积 | \(xy\) | 概率和（代数和） | \(x+y-xy\) |
boundary |
Łukasiewicz 范数 | \(\max(x+y-1,0)\) | Łukasiewicz 范数 | \(\min(x+y,1)\) |
drastic |
剧烈积 | 当 \(x=1\) 时为 \(y\)；当 \(y=1\) 时为 \(x\)；否则为 \(0\) | 剧烈和 | 当 \(x=0\) 时为 \(y\)；当 \(y=0\) 时为 \(x\)；否则为 \(1\) |
历史拼写为 SCoNorm；现代集合策略为 SNormPolicy。
组合操作在折叠之前验证每个操作数。可执行测试套件验证封闭性、交换律、结合律、
单位元以及标准否定下的两条德摩根定律。
模糊集代数¶
所有现代二元操作都要求论域精确相等，绝不隐式推断重采样网格、坐标转换或论域协调方式。
对于同一论域上的集合 \(A\) 和 \(B\)：
差集是有方向的。对于一般模糊隶属度，\(A\setminus A\) 不一定为空。 对称差集尚未纳入公共契约，因为还需要显式的 s 范数和已接受的组合策略。 参见显式模糊集操作。
数学相等与包含也是显式操作：
离散论域会被穷举检查。任意连续可调用对象要求声明有限的 ComparisonDomain，
因此肯定结果仅对这些坐标提供依据，不能证明全局函数相等。
精确策略和容差策略绝不隐式选择。
参见相等与包含。
α 截集、高度、归一化与凸性¶
FuzzyRoutines 使用弱 α 截集：
因此 \(A_0=X\)，\(A_1\) 为核，且当 \(0\le\alpha\le\beta\le1\) 时
有 \(A_\beta\subseteq A_\alpha\)。
对于声明的有限 DiscreteUniverse，AlphaCut 是精确的。
SampleAlphaCut 记录有限连续网格，并始终报告 isExact == False；
其结果不是连续几何。
对于精确的正高度 \(h(A)\)，归一化定义为
高度为零时会被拒绝。精确高度可通过穷举离散集合，或受支持的解析连续函数族获得。 对于任意连续可调用对象，操作会明确失败，不会把采样最大值用作证明。 参见 α 截集契约 和归一化契约。
已接受的一维凸性定义为拟凹性：
等价地，每个正水平的弱 α 截集都为凸集。 此定义已由 ADR-0009 接受， 但公共凸性查询及带验证依据的结果 API 尚未实现。 有限连续网格可以发现反例；没有采样到违例不能证明全局凸性。 参见凸性设计契约。
语言术语与尺度¶
现代表述将一个精确的非空名称与一个 ScalarFuzzySet 关联：
LinguisticScale 保存非空有序的 LinguisticTerm 元组，
其名称在 Unicode 不区分大小写比较下唯一。精确查找保留大小写；
可选的不区分大小写查找比较经过大小写折叠的完整名称。
Fuzzify() 返回所有按顺序排列的隶属度分数，并以最大值作为置信度。
显式 FuzzificationPolicy 定义最低置信度、绝对并列容差，
以及按顺序选择 first、last 或 all 的并列处理方式。
主导契约为 ADR-0013。
Diagnose() 在显式、保留端点的有限网格上求值，记录各点的最大隶属度、
激活术语、空缺、重叠和单位分解误差。其域、采样数量、激活阈值和分解容差均显式给出。
结果是可复现的采样依据，绝不声称证明网格点之间的连续性质。
诊断定义及不修改对象的边界由 ADR-0014 固定。
历史可变列表 FuzzyScale.levels 仍作为兼容接口提供，
GetLevelByName() 保留历史调用形式。原有 Fuzzy() 的后者胜出行为仍受支持，
在带类型模型中对应显式的 last 策略。
参见语言术语表示。
质心解模糊化¶
对于连续模糊集及显式有限积分域 \(D=[l,r]\)，已实现的质心为
多项式函数族使用解析矩。对于高斯隶属函数，只要有限面积可在数值上解析，
就使用稳定的闭式表达式。其他 MFunction 函数族和一般可调用对象使用
确定性的自适应 Simpson 积分，并显式指定 CentroidPolicy。
零面积或非有限面积抛出 ValueError；自适应工作量耗尽时抛出 CentroidConvergenceError。
绝不会把当前最佳估计或固定网格估计作为已收敛结果返回。
兼容方法 FuzzySet.Defuz() 和属性 defuzValue 在每次访问时委托此策略，
使用当前参数与当前 supportSet 积分边界，不保留质心缓存。
参见质心契约
及 ADR-0005。
实现边界¶
| 能力 | 状态 | 契约或验证依据 |
|---|---|---|
| 显式连续及离散论域 | 已实现 | 论域与支集 |
| 历史解析隶属函数注册表 | 已实现并受保护 | 隶属函数 |
| 显式否定、t 范数和 s 范数策略 | 已实现 | ADR-0004 |
| 补集、交集、并集和差集 | 已实现 | 模糊集操作 |
| 相等与包含 | 已实现 | 关系 |
| 精确离散截集和采样连续截集 | 已实现 | α 截集 |
| 高度与归一化 | 已实现 | 归一化 |
| 带类型的语言表示 | 已实现 | 语言术语 |
| 尺度采样诊断 | 已实现 | 语言术语 |
| 解析及自适应质心 | 已实现 | 质心解模糊化 |
| 可执行凸性结果 API | 规划中 | 已接受的设计 |
| 带类型的语言查找与模糊化 | 已实现 | 语言术语 |
| 对称差集 | 不支持 | ADR-0008 |
| 多维或二型模糊集 | 范围之外 | 需要单独的架构决策 |
详细契约索引¶
| 主题 | 规范详细说明 |
|---|---|
| 有限标量值 | 有限数值策略 |
| 数值容差 | 数值边界策略 |
| 域与派生几何 | 论域与支集 |
| 隶属函数族 | 公式与参数契约 |
| 稳定数值分支 | 源公式与算法不变量 |
| 否定 | 抛物型推导 |
| 集合操作 | 补集、交集、并集和差集 |
| 关系 | 相等与包含 |
| α 截集 | 精确与采样 α 截集 |
| 高度与归一化 | 模糊集归一化 |
| 凸性 | 模糊集凸性 |
| 语言模型 | 带类型的语言术语表示 |
| 解模糊化 | 质心解模糊化 |
| 兼容性 | 从历史 API 迁移到现代 API |
许可证¶
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