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α 截集契约

定义与边界约定

对于论域 \(X\) 上的标量模糊集 \(A\)，FuzzyRoutines 将弱 α 截集定义为

\[ A_\alpha = \{x \in X \mid \mu_A(x) \ge \alpha\}, \qquad \alpha \in [0, 1]. \]

比较直接采用 >=。隶属度等于阈值的坐标属于截集。 API 不会静默替换为强截集 \(\{x \mid \mu_A(x) > \alpha\}\)，也不应用数值容差。

端点语义直接由定义得到：

  • \(A_0 = X\)，因为每个有效隶属度均位于 \([0, 1]\)；
  • \(A_1 = \{x \in X \mid \mu_A(x) = 1\}\)，即 \(A\) 的核。

对于任意 \(0 \le \alpha \le \beta \le 1\)，截集具有嵌套关系：

\[ A_\beta \subseteq A_\alpha. \]

精确离散操作

AlphaCut(fuzzySet, alpha) 穷举计算 DiscreteUniverse 的每个坐标， 并返回 DiscreteRegion。因此，结果是相对于声明的有限论域的精确截集。

from fuzzyroutines import AlphaCut, DiscreteUniverse, ScalarFuzzySet

universe = DiscreteUniverse((0.0, 0.5, 1.0))
fuzzySet = ScalarFuzzySet(universe, lambda coordinate: coordinate)

assert AlphaCut(fuzzySet, 0.5).points == (0.5, 1.0)
assert AlphaCut(fuzzySet, 0.0).points == universe.points
assert AlphaCut(fuzzySet, 1.0).points == (1.0,)

此操作通过 ScalarFuzzySet.Membership 求值， 因此非有限、非实数或超出范围的隶属度会导致明确失败。

明确采用采样的连续操作

ContinuousUniverse 上的任意 Python 可调用对象通常没有通用的解析逆函数。 有限扫描不能证明其连续 α 截集。 因此，AlphaCut 拒绝连续模糊集，不会将采样点当作精确几何。

SampleAlphaCut(fuzzySet, alpha, analysisDomain, sampleCount) 是显式数值替代方法。 它在包含于集合论域内的 IntegrationDomain 上计算均匀有限网格， 并返回 SampledAlphaCut。结果记录：

  • alpha 和弱条件 >= alpha 的筛选规则；
  • analysisDomain、sampleCount 及全部求值坐标 coordinates；
  • grades 中每个经过验证的隶属度；
  • 以 DiscreteRegion 表示的所选 cutSamples；
  • method == "uniform-grid" 和 isExact == False。
from fuzzyroutines import (
    ContinuousUniverse,
    IntegrationDomain,
    SampleAlphaCut,
    ScalarFuzzySet,
)

universe = ContinuousUniverse(0.0, 1.0, leftClosed=True, rightClosed=True)
fuzzySet = ScalarFuzzySet(universe, lambda coordinate: coordinate)
sampledCut = SampleAlphaCut(
    fuzzySet,
    0.5,
    IntegrationDomain(0.0, 1.0),
    sampleCount=5,
)

assert sampledCut.cutSamples.points == (0.5, 0.75, 1.0)
assert sampledCut.isExact is False

当 alpha=0 时，cutSamples 包含整个声明网格，并不展开为整个连续论域。 当 alpha=1 时，它仅包含隶属度恰好为一的采样坐标，不能证明完整的连续核。 当各截集使用相同模糊集、分析域和网格分辨率时，保证嵌套不变量成立。

参考文献