质心与数值精度

问题：如何用一个代表性坐标替代连续的隶属曲线，并独立验证这个数值？

对于隶属函数下面积为正的有限积分域 \([a,b]\)，

\[ c=\frac{\int_a^b x\mu(x)\,\mathrm{d}x}{\int_a^b \mu(x)\,\mathrm{d}x}. \]

from math import isclose
from fuzzyroutines import (
    Centroid, ContinuousUniverse, IntegrationDomain,
    ScalarFuzzySet, SNormPolicy, Triangle, Union,
)

universe = ContinuousUniverse(0, 8, leftClosed=True, rightClosed=True)
triangle = ScalarFuzzySet(universe, Triangle(0, 2, 8))
centroid = Centroid(triangle, IntegrationDomain(0, 8))
assert isclose(centroid, (0 + 2 + 8) / 3, abs_tol=1e-12)

combinedUniverse = ContinuousUniverse(0, 10, leftClosed=True, rightClosed=True)
left = ScalarFuzzySet(combinedUniverse, Triangle(0, 1, 3))
right = ScalarFuzzySet(combinedUniverse, Triangle(4, 6, 10))
combined = Union(left, right, SNormPolicy("logic"))
combinedCentroid = Centroid(combined, IntegrationDomain(0, 10))
assert isclose(combinedCentroid, 44 / 9, abs_tol=1e-9, rel_tol=1e-9)
print(centroid, combinedCentroid)

第一个三角形的几何质心为 \((0+2+8)/3=10/3\approx3.333333\)。这是独立的解析基准。对于识别出的三角形函数族，库使用解析面积矩。

青色虚线连接用户侧四个采样点 \(0,8/3,16/3,8\)，对应隶属度为 \(0,8/9,4/9,0\)。分别对面积和一阶矩应用梯形法，得到

\[ A_4=\frac{32}{9},\qquad M_4=\frac{1024}{81},\qquad c_4=\frac{M_4}{A_4}=\frac{32}{9}\approx3.555556. \]

绝对差为 \(c_4-c=2/9\)，相对差为 \((c_4-c)/c=1/15\)，约 6.67%。可执行场景明确实现了该计算。库中的 Centroid 不使用这套固定网格。 图形说明了粗网格采样表示为何会改变结果。

两个不相交三角形的面积分别为 \(3/2\) 和 \(3\)，质心分别为 \(4/3\) 和 \(20/3\)。由于它们的支集不相交，最大值并运算可直接相加面积矩，无需重叠修正：

\[ c=\frac{(3/2)(4/3)+3(20/3)}{3/2+3}=\frac{44}{9}\approx4.888889. \]

组合后的可调用函数使用自适应求积。所得结果与此基准在断言采用的 \(10^{-9}\) 容差内一致。

工程检查：积分域必须位于连续论域之内。面积为零时引发 UndefinedResultError；达到自适应细分深度上限仍未收敛时引发 CentroidConvergenceError，而不是静默返回后备值。策略中的容差控制面积矩的积分，并不是质心坐标误差的已证明绝对上界。一般函数必须具有足够的正则性：仅凭有限次求值，无法排除求积过程漏掉狭窄特征。应据此选择积分域和模型。

项目用法：当代表性坐标影响决策时，应记录单位、有限积分边界、策略和独立参考值。截断曲线会改变所请求的质心本身。

python -I examples/guide.py --scenario centroid

继续阅读尺度审查。