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质心解模糊化

契约

对于连续标量模糊集 \(A\) 及显式有限积分域 \(D=[l,r]\)，FuzzyRoutines 将质心定义为

\[ C(A,D)=\frac{\int_l^r x\mu_A(x)\;\mathrm{d}x}{\int_l^r \mu_A(x)\;\mathrm{d}x}. \]

积分域是操作输入，并非集合的数学支集；它必须位于声明的 ContinuousUniverse 内。 分母为零或非有限值时没有质心，操作抛出 ValueError。

求值路径

Centroid 根据隶属函数可调用对象携带的依据选择方法：

隶属函数来源 方法
Triangle、trapezium、parabolic、bell 分段多项式面积和一阶矩的解析计算
高斯形指数函数 使用 erf/erfc 的解析面积及稳定的端点指数差
其他解析函数族或一般可调用对象 对面积与一阶矩进行确定性的自适应 Simpson 积分

高斯路径对同侧尾部使用互补误差函数。 令 \(u=(l-c)/s\)、\(v=(r-c)/s\)，其中 \(c\) 为中心，\(s\) 为正尺度，标准化面积为

\[ I=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \begin{cases} \mathrm{erfc}(u/\sqrt{2})-\mathrm{erfc}(v/\sqrt{2}), & u\ge0,\\ \mathrm{erfc}(-v/\sqrt{2})-\mathrm{erfc}(-u/\sqrt{2}), & v\le0,\\ \mathrm{erf}(v/\sqrt{2})-\mathrm{erf}(u/\sqrt{2}), & u\lt0\lt v. \end{cases} \]

面积为 \(sI\)，质心为 \(c+s(e^{-u^2/2}-e^{-v^2/2})/I\)。 端点差使用 expm1，在两个指数值接近时保留精度。 这样可以避免相减两个都已舍入到接近一的 erf 值。

在使用解析结果之前，归一化及特殊函数舍入的一阶误差估计必须满足调用者的 relativeTolerance。此估计是方法选择的保护条件，不是精确误差证明。 若面积非正或非有限、矩非有限、无法可靠地计算相减结果，或解析质心超出域， 则采用相同策略委托自适应积分。结果绝不截断到端点，任何路径都不会静默退回固定采样网格。

精度与失败

CentroidPolicy 管理一次操作的自适应配置。默认绝对面积容差为 1e-12， 相对容差为 1e-10，每个区间最多递归二分 20 次。 一阶矩的绝对误差目标按域内最大坐标绝对值缩放。 这些是矩的误差目标，而非质心误差的直接界限。 当极小隶属度权重迫使高斯路径回退时，调用者可以显式减小绝对容差， 使它不会主导所要求的相对精度。

当配置深度无法同时满足两个矩的目标时，自适应积分抛出 CentroidConvergenceError。 提高限制是调用者的显式决定；失败时绝不将当前最佳估计作为已收敛结果返回。

一般可调用对象被假定具有自适应求积所需的足够正则性。 任何有限的黑箱采样都无法发现位于全部求值坐标之间的特征。 此类隶属函数需要解析函数族，或未来显式划分积分域的契约。

兼容门面

FuzzySet.Defuz() 和 defuzValue 在每次访问时委托同一策略， 因此使用当前隶属函数参数和当前 supportSet 积分边界，不保留质心缓存。 MFunction.accuracy 为源代码兼容仍可写入，但不再控制正确性或工作量。 已退役的 1000 点右端点算法输出仍作为测试来源保留； 任务 #78 的参考用例声明绝对兼容界限为 5e-4。

验证依据

  • tests/test_defuzzification.py 覆盖独立解析参考、自适应收敛、显式不收敛、 域验证、修改行为、狭窄解析集合及低隶属度集合；
  • tests/test_legacy_centroid_reference.py 独立于生产代码保留退役算法的观测结果；
  • tests/test_numerical_edge_policy.py 验证零面积时明确失败。

主导决策为 ADR-0002 及 ADR-0005。

参考文献