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模糊集相等与包含

  • 状态：任务 #73 的可执行契约
  • 公共模块：fuzzyroutines.relations

数学关系

对于同一论域 X 上的模糊集 A 和 B，逐点相等与包含定义为

A = B  iff  for every x in X: mu_A(x) = mu_B(x)
A <= B iff  for every x in X: mu_A(x) <= mu_B(x)

公共 API 绝不比较隶属函数对象的身份。因此，两个不同的 Python 可调用对象 可以表示相同的隶属度行为。两种关系都要求在计算任何隶属度之前确认论域精确相等。 ScalarFuzzySet 的 Python 对象相等仍基于身份，不是数学关系； 调用者必须使用显式关系函数。

穷举与采样范围

DiscreteUniverse 有限，因此 EqualOnDomain 和 IncludedOnDomain 会计算每个声明点。调用者不能提供部分比较域，却意外地把结果标记为整个论域上的相等。

通常，有限次求值无法证明 ContinuousUniverse 上任意 Python 可调用对象 与另一个对象全局相等。因此，连续关系要求显式 ComparisonDomain， 包含论域内有限且有序的采样点。布尔结果仅对这些声明点有效， 不是点间函数相等或包含的证明。

此边界是有意设定的。对已知隶属函数族进行解析关系证明需要单独的符号表示与契约。

精确模式与容差模式

每个关系都要求 ComparisonPolicy：

  • ComparisonPolicy("exact") 使用精确的隶属度数值相等及精确逐点序关系；
  • ComparisonPolicy("tolerance", absoluteTolerance=..., relativeTolerance=...) 使用 math.isclose 判断相等，仅当两个隶属度在这些显式容差下足够接近时， 才允许包含关系的偏差。

容差模式要求两个容差字段，且至少一个必须为正。精确模式拒绝容差参数。 不存在库级或隐式 epsilon。

基于容差的接近关系一般不满足传递性，不可作为哈希、规范化表示或身份判断的等价关系。

示例

穷举离散比较：

from fuzzyroutines import (
    ComparisonPolicy,
    DiscreteUniverse,
    EqualOnDomain,
    IncludedOnDomain,
    ScalarFuzzySet,
)

universe = DiscreteUniverse((0.0, 0.5, 1.0))
leftSet = ScalarFuzzySet(universe, lambda coordinate: coordinate)
rightSet = ScalarFuzzySet(universe, lambda coordinate: coordinate**1)
policy = ComparisonPolicy("exact")

assert EqualOnDomain(leftSet, rightSet, policy)
assert IncludedOnDomain(leftSet, rightSet, policy)

显式连续采样比较：

from fuzzyroutines import ComparisonDomain, ContinuousUniverse

universe = ContinuousUniverse(0.0, 1.0, leftClosed=True, rightClosed=True)
leftSet = ScalarFuzzySet(universe, lambda coordinate: coordinate * coordinate)
rightSet = ScalarFuzzySet(universe, lambda coordinate: coordinate**2)
samplePoints = ComparisonDomain((0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0))

assert EqualOnDomain(leftSet, rightSet, policy, samplePoints)

已验证的性质

可执行测试套件覆盖：

  • 穷举离散相等与包含；
  • 不同身份的可调用表示之间的相等；
  • 自反性和精确反对称性；
  • 显式绝对及相对容差行为；
  • 连续比较域的必需性；
  • 拒绝部分离散域；
  • 拒绝不兼容论域及无效采样点。

参考文献

  • L. A. Zadeh, “Fuzzy Sets,” Information and Control, 8(3), 338–353,
  • https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X
  • G. J. Klir and B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications, Prentice Hall, 1995. ISBN 978-0-13-101171-7.