Аналитический вывод исторического параболического отрицания¶

Статус: математический контракт задачи #56
Связанный ADR: ADR-0004
Историческая функция: FuzzyNOTParabolic(x, alpha, epsilon)

Область действия и терминология¶

Историческая функция задаётся неявным симметричным соотношением

2*alpha - x - y = (2*alpha - 1) * (y - x)**2

Здесь выводится его допустимая аналитическая ветвь. Ни один источник, найденный при обзоре, не устанавливает это точное уравнение как именованное каноническое семейство. Поэтому проект сохраняет историческое имя FuzzyNOTParabolic и не представляет его как стандартное опубликованное «параболическое отрицание».

Требования к концам интервала, антитонности и инволютивности следуют обычному контракту сильного нечёткого отрицания; см. формальное изложение нечётких отрицаний в Bedregal et al. (2017).

Вывод¶

Пусть k = 2*alpha - 1 и d = y - x. Соотношение принимает вид

k*d**2 + d + 2*(x - alpha) = 0

При alpha != 1/2 ветвь, проходящая через неподвижную точку (alpha, alpha), равна

D = 1 - 8*k*(x - alpha)
d = (-1 + sqrt(D)) / (2*k)
y = x + d

Численно устойчивый эквивалент, также дающий непрерывный предел при alpha = 1/2:

y = x + 4*(alpha - x) / (1 + sqrt(D))

При alpha = 1/2 выражение точно сводится к y = 1 - x.

Допустимая область параметра¶

Ветвь через неподвижную точку удовлетворяет N(0) = 1 только при alpha >= 1/4, а N(1) = 0 — только при alpha <= 3/4. На замкнутом интервале

alpha in [1/4, 3/4]

дискриминант неотрицателен при x in [0, 1]; выбранная ветвь непрерывна, монотонно убывает, оставляет alpha неподвижной и инволютивна. Последнее свойство следует из симметрии определяющего соотношения по x и y и единственности выбранной допустимой ветви результата.

Вне этого интервала ветвь через неподвижную точку нарушает хотя бы одно граничное требование. Поэтому по контракту проекта она не является сильным нечётким отрицанием.

Следствия¶

Полный перебор с шагом epsilon математически не нужен; он удалён задачей #57.
Задача #57 реализует приведённую устойчивую замкнутую формулу без цикла сканирования.
Параболическое семейство требует alpha in [1/4, 3/4]; это отличается от области 0 < alpha < 1 отдельного кусочно-линейного семейства FuzzyNOT.
Задача #58 проверяет концы интервала, неподвижную точку, монотонное убывание, инволютивность и обе недопустимые области параметра.