Историческая универсальная нечёткая шкала¶

Universal Fuzzy Scale — универсальная нечёткая шкала — историческая модель FuzzyRoutines с пятью уровнями: Min → Low → Med → High → Max (минимальный, низкий, средний, высокий, максимальный). Ниже сохранены её исходные коэффициенты и показано, как собрать тот же классификатор через современный API. «Универсальная» — историческое название, а не доказательство пригодности для любой задачи. Это не трёхуровневая шкала FuzzyScale по умолчанию и не пять равномерно расположенных треугольников.

Слева показаны вычисления исторического API, справа — современного. Min резко убывает около 0,125; Low, Med и High имеют плоские вершины и квадратичные склоны; Max возрастает между 0,77 и 0,95. Малый положительный хвост Min сохраняется, хотя на графике его почти не видно.

Уровни риска и защищённости¶

Шкалу можно использовать в кибербезопасности и оценке рисков, чтобы переводить нормированную числовую оценку в качественный уровень: например, оценивать риск для актива, серьёзность выявленной проблемы безопасности или эффективность мер защиты. Сначала определите, как наблюдения или экспертные оценки преобразуются в число из [0, 1] и что означает его рост. Повышение риска и усиление защиты имеют противоположный смысл для принятия решений, хотя в обоих случаях можно использовать уровни Min, Low, Med, High и Max.

Например, для условной оценки риска 0.75 историческая шкала выбирает High со степенью принадлежности 1. Это полная принадлежность уровню High в данной модели; ни одно из этих чисел не является вероятностью инцидента. Вместе с выбранным уровнем сохраняйте степени принадлежности, чтобы видеть переходы между уровнями. Правила нормирования, объединения оценок и реагирования задаются для конкретной задачи и проверяются на предметных данных; область слабого покрытия нужно обрабатывать явно, как показано ниже. Шкала даёт словесную интерпретацию входной оценки, но сама по себе не измеряет риск и не определяет порядок реагирования на инциденты.

Исходные параметры¶

Уровень	Историческое семейство / современный конструктор	Исторический `supportSet`
Min	`hyperbolic` / `Hyperbolic(8, 20, 0)`	`[0, 0.23]`
Low	`bell` / `Bell(0.17, 0.23, 0.34)`	`[0.17, 0.40]`
Med	`bell` / `Bell(0.34, 0.40, 0.60)`	`[0.34, 0.66]`
High	`bell` / `Bell(0.60, 0.66, 0.77)`	`[0.60, 0.83]`
Max	`parabolic` / `SShoulder(0.77, 0.95)`	`[0.77, 1]`

supportSet здесь — исторический конечный интервал интегрирования для центра тяжести. Метод UniversalFuzzyScale.Fuzzy(x) вызывает mFunction.mju(x) и не обрезает функцию по этому интервалу. Например, Min положителен и после 0,23. Поэтому современная модель использует общее замкнутое универсальное множество [0, 1] для всех пяти термов. Подстановка пяти supportSet вместо общего универсального множества изменит контракт и приведёт к ошибкам при классификации большинства координат.

При \(0\le x\le1\) формулы можно записать через возрастающую квадратичную функцию:

\[ s_{a,b}(x)=\begin{cases} 0,&x\le a,\\ 2\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^2,&a\lt x\le\frac{a+b}{2},\\ 1-2\left(\frac{b-x}{b-a}\right)^2,&\frac{a+b}{2}\lt x\lt b,\\ 1,&x\ge b. \end{cases} \]

\[ \mu_{\mathrm{Min}}(x)=\frac{1}{1+(8x)^{20}} \]

\[ \mu_{\mathrm{Bell}(a,b,c)}(x)=\min\left\lbrace s_{a,b}(x),1-s_{c,c+b-a}(x)\right\rbrace \]

\[ \mu_{\mathrm{Max}}(x)=s_{0.77,0.95}(x). \]

Правая граница колоколообразной функции — \(c+b-a\), её ядро — весь отрезок \([b,c]\). Сумма степеней принадлежности не обязана равняться единице: это не вероятности. Эти формулы служат независимой проверкой примера и графиков.

Как использовать исторический API¶

from math import isclose
from fuzzyroutines.FuzzyRoutines import UniversalFuzzyScale

scale = UniversalFuzzyScale()
assert [level["name"] for level in scale.levels] == ["Min", "Low", "Med", "High", "Max"]
grades = {level["name"]: level["fSet"].mFunction.mju(0.2) for level in scale.levels}
assert isclose(grades["Low"], 0.5)
assert scale.Fuzzy(0.2)["name"] == "Low"
assert scale.GetLevelByName("Med")["fSet"].supportSet == (0.34, 0.66)
assert scale.GetLevelByName("Min")["fSet"].mFunction.mju(0.5) > 0
print(grades, scale.Fuzzy(0.2)["name"])

Фасад совместимости сохраняет прежние имена и конструктор. Пример выполняется на версии 2.0; это не обещание сохранить ошибки вычислений версии 1.0.3. Исправления центра тяжести описаны в руководстве по миграции.

Как создать шкалу через современный API¶

from math import isclose
from fuzzyroutines import (
    Bell, ContinuousUniverse, FuzzificationPolicy, Hyperbolic,
    LinguisticScale, LinguisticTerm, ScalarFuzzySet, SShoulder,
)
from fuzzyroutines.FuzzyRoutines import UniversalFuzzyScale

universe = ContinuousUniverse(0, 1, leftClosed=True, rightClosed=True)
models = (
    ("Min", Hyperbolic(8, 20, 0)),
    ("Low", Bell(0.17, 0.23, 0.34)),
    ("Med", Bell(0.34, 0.40, 0.60)),
    ("High", Bell(0.60, 0.66, 0.77)),
    ("Max", SShoulder(0.77, 0.95)),
)
scale = LinguisticScale(tuple(
    LinguisticTerm(name, ScalarFuzzySet(universe, model))
    for name, model in models
))
legacy = UniversalFuzzyScale()
policy = FuzzificationPolicy(tiePolicy="last", tieTolerance=0)
for coordinate in (0, 0.125, 0.17, 0.2, 0.37, 0.5, 0.63, 0.81, 0.86, 1):
    result = scale.Fuzzify(coordinate, policy)
    for item, previous in zip(result.memberships, legacy.levels, strict=True):
        assert isclose(item.grade, previous["fSet"].mFunction.mju(coordinate), abs_tol=1e-12)
    assert result.selectedTerms[0].name == legacy.Fuzzy(coordinate)["name"]
assert isclose(scale.Fuzzify(0.125).confidence, 0.5)
assert not scale.Fuzzify(0.17, FuzzificationPolicy(minimumConfidence=0.1)).isMatch
assert not scale.Fuzzify(0.125, FuzzificationPolicy(minimumConfidence=0.5)).isMatch
print([(item.term.name, item.grade) for item in scale.Fuzzify(0.2).memberships])

Историческая функция parabolic соответствует SShoulder, а не неограниченной параболе. Порядок термов и tiePolicy="last" сохраняют выбор последнего уровня при точном равенстве максимальных степеней принадлежности. Современная политика по умолчанию выбирает первый: при миграции это различие нужно указать явно.

Числа и важные граничные случаи¶

Координата	Результат / степень принадлежности
0	Min = 1; левая граница включена
0,125	Min = 0,5
0,17	Min ≈ 0,002129589894; Low = 0: слабое покрытие
0,20	Low = 0,5; Min ≈ 0,000082711220
0,50	Med = 1; Min ≈ 9,094947018 × 10⁻¹³
0,81	High ≈ 2/9, Max ≈ 8/81; выбран High
0,86	Max ≈ 0,5
1	Max = 1; правая граница включена

Слабое покрытие между Min и Low — свойство исторических коэффициентов. Мы его показываем, сохраняя исходную модель. В точке 0,17 прежний классификатор выбирает Min, а современная политика с minimumConfidence=0.1 возвращает отсутствие совпадения. Максимум, равный порогу, тоже не проходит: условие строгое. Этот порог задаёт требуемую степень принадлежности, а не вероятность ошибки.

В точной арифметике соседние колоколообразные функции равны при 0,37 и 0,63. Однако при 0,37 вычисления с плавающей точкой дают Low ≈ 0,5000000000000009 и Med ≈ 0,4999999999999991, поэтому исторический результат — Low. tieTolerance=0 сохраняет точное сравнение; положительный допуск намеренно меняет обработку почти равных значений.

Современный пример отклоняет координаты вне [0,1]. Исторический API принимает и другие конечные числа: −0,1 даёт Min, а 1,1 — Max. Физические величины нужно явно проверять и нормировать. Для воспроизведения исторических центров тяжести нужны прежние интервалы интегрирования каждого уровня, а не общий [0,1].

Воспроизведение¶

python examples/guide.py --scenario universal-fuzzy-scale

Пример проверяет обе реализации по независимым формулам на 1001 точке 0, 0.001, …, 1, сравнивает выбранные уровни, отказ по порогу и хвост Min. Проверки графиков независимо сверяют 401 точку каждой из десяти кривых. Конечная сетка — свидетельство регрессии, а не доказательство для всех вещественных чисел. Подробнее: создание графиков и исторические параметры.